La géométrie riemannienne devient de jour en jour plus importante. Les deux pionniers en furent Gauss (1977-1855, texte fondteur en 1827) et Riemann (1826-1866), texte fondateur en 1854). La construction des outils de base, pour l'étude locale, fut le fait de Ricci et de Levi-Civita, entre autres, au tournant du siècle. Le théorème de Hopf-Rinow en fut la clef de voüte globale en 1931. L'événement spectaculaire, tout á fait typique et permanent dans les relations entre les mathématiques développées "pour l'amour de l'art" et leurs applications pratiques totalement inattendues, eut lieu en 1912 quand Einstein eut besoin de façon cruciale, pour développer la Relativité Générale, des outils cités plus haut, cre´´eés par l'école italienne qui, elle, avait été mue alors seulement par son désir de bien comprendre conceptuellement l'object géométrique naturel légué par Riemann. Dans le présent texte, après avoir exposé les fondements, nous. présentons quelques contributions récentes oú s'est en particulier illustrée l'école mathématique française.