El objetivo de este artículo de divulgación es mostrar como se podría realizar un tránsito natural entre un curso de Álgebra Lineal y uno en Teoría de Operadores.La columna vertebral que guía este trabajo es la idea de diagonalización, que es la pieza fundamental en un primer curso de Algebra Lineal a nivel de pregrado. Comenzando de esta idea, la incorporación de elementos de Análisis Funcional y Teoría de Operadores es implementada por el requerimiento natural de nuevos conceptos a través del análisis de situaciones de abstracción matemática. El contenido del texto es reforzado mediante varios ejemplos y aplicaciones a problemas físicos y biológicos.